Электромеханическая аналогия

Нетрудно заметить определённую аналогию между индуктивностью L в электродинамике и массой m в механике.

1. Чтобы разогнать тело до заданной скорости, требуется некоторое время — мгновенно изменить скорость тела не получается. При неизменной силе, приложенной к телу, это время тем больше, чем больше масса m тела.
   Чтобы ток в катушке достиг своего максимального значения, требуется некоторое время; мгновенно ток не устанавливается. Время установления тока тем больше, чем больше индуктивность L катушки.

2. Если тело налетает на неподвижную стену, то скорость тела уменьшается очень быстро. Стена принимает на себя удар, и его разрушительное действие тем сильнее, чем больше масса тела.
   При размыкании цепи с катушкой ток уменьшается очень быстро. Цепь принимает на себя «удар» в виде вихревого электрического поля, порождаемого убывающим магнитным полем тока, и этот «удар» тем сильнее, чем больше индуктивность катушки. ЭДС индукции может достичь столь больших величин, что пробой воздушного промежутка выведет из строя оборудование.

На самом деле эти электромеханические аналогии простираются довольно далеко; они касаются не только индуктивности и массы, но и других величин, и оказываются весьма полезными на практике. Мы ещё поговорим об этом в листке про электромагнитные колебания.

Энергия магнитного поля

Вспомним второй опыт с лампочкой, которая не горит при замкнутом ключе и ярко вспыхивает при размыкании цепи. Мы непосредственно наблюдаем, что после размыкания ключа в лампочке выделяется энергия. Но откуда эта энергия берётся?

Берётся она, ясное дело, из катушки — больше неоткуда. Но что за энергия была запасена в катушке и как вычислить эту энергию? Чтобы понять это, продолжим нашу электромеханическую аналогию между индуктивностью и массой.

Чтобы разогнать тело массы m из состояния покоя до скорости v, внешняя сила должна совершить работу A. Тело приобретает кинетическую энергию, которая равна затраченной работе: K = A = ��222mv2​

Чтобы после замыкания цепи ток в катушке индуктивности L достиг величины I, источник тока должен совершить работу по преодолению вихревого электрического поля, направленного против тока. Работа источника идёт на создание тока и превращается в энергию магнитного поля созданного тока. Эта энергия запасается в катушке; именно эта энергия и выделяется потом в лампочке после размыкания ключа (во втором опыте).

Индуктивность L служит аналогом массы m; сила тока I является очевидным аналогом скорости v. Поэтому естественно предположить, что для энергии магнитного поля катушки может иметь место формула, аналогичная выражению для кинетической энергии:

�=��22(1)W=2LI2​(1)

(тем более, что правая часть данной формулы имеет размерность энергии)

Пусть в данный момент сила тока через катушку равна I. Возьмём малый промежуток времени dt. В течение этого промежутка приращение силы тока равно dI; величина dt считается настолько малой, что dI много меньше, чем I.

За время dt по цепи проходит заряд dq = Idt. Вихревое электрическое поле совершает при этом отрицательную работу:

��вихр=Ɛ���=Ɛ����=−��������=−����.dAвихр​=Ɛi​dq=Ɛi​Idt=−LdtdI​Idt=−LIdI.

Источник тока совершает такую же по модулю положительную работу dA (сопротивлением катушки, напомним, мы пренебрегаем, так что вся работа источника совершается против вихревого поля):

��=��вихр=����.dA=dAвихр=LIdI.

Интегрируя это от нуля до I, найдем работу источника A, которая затрачивается на создание тока I:

∫0�����=��22∫0I​LIdI=2LI2​

Эта работа превращается в энергию W магнитного поля созданного тока, и мы приходим к формуле (1).