Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость C, индуктивность катушки равна L.

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен q0, а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия W контура сосредоточена в конденсаторе:

�=�022�W=2Cq02​​

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I0, а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

�=��022W=2LI02​​

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен q и через катушку течёт ток I, энергия контура равна:

�=�22�+��22W=2Cq2​​+2LI2​​

Таким образом

�22�+��22=�022�+��022(1)2Cq2​​+2LI2​​=2Cq02​​+2LI02​​(1)

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущей теме про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):

��22+��22=��022+��022(2)2kx2​​+2mv2​​=2kx02​​+2mv02​​(2)

Здесь, как вы уже поняли, k — жёсткость пружины, m — масса маятника, x и v — текущие значения координаты и скорости маятника, x0 и v0 — их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
 

�←→�;(3)�←→�;(4)�←→�;(5)1/�←→�.(6)q←→x;(3)I←→v;(4)L←→m;(5)1/C←→k.(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

�=2���T=2πkm​​

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу m на индуктивность L, а жёсткость k на обратную ёмкость 1/C. Получим:

�=2���.(7)T=2πLC​.(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона.