Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора q, площадь обкладок S.

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд q0 этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

�0=�0�1F0​=q0​E1​

где E1 — напряжённость поля первой обкладки:

�1=�2�0=�2�0�E1​=2ε0​σ​=2ε0​Sq​

Следовательно,

�0=��02�0�F0​=2ε0​Sqq0​​

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила F притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил F0, с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q0 второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель �2�0�2ε0​Sq​ вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все q0 и дадут q. В результате получим:

�=�22�0�(0)F​=2ε0​Sq2​(0)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины d1 до конечной величины d2. Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

�=�(�1−�2).A=F(d1​−d2​).

Знак правильный: если пластины сближаются (d2 < d1), то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины (d2 > d1), то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

�=�22�0�(�1−�2)=�2�12�0�−�2�22�0�=�22�1−�22�2=�1−�2A=2ε0​Sq2​(d1​−d2​)=2ε0​Sq2d1​​−2ε0​Sq2d2​​=2C1​q2​−2C2​q2​=W1​−W2​

где W1 =�22�12C1​q2​, W2 =�22�22C2​q2​. Это можно переписать следующим образом:

�=−Δ�A=−ΔW

где

�=�22�(1)W=2C​q2​(1)

Работа потенциальной силы F притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины W. Это как раз и означает, что W — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение q = CU, можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора.

�=��2(2)W=2qU​(2)�=��22(3)W=2CU2​(3)

Особенно полезными являются формулы (1) и (3).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Сила притяжения обкладок уменьшится в ε раз, и вместо (0) получим:

�=�22�0��F​=2ε0​εSq2​

Формулы (1)–(3) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.