Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров. меров. Обозначение конденсатора на электрической схеме показано на рис. 1

Рис. 1. Конденсатор

Для начала мы рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух (ε = 1).

Пусть заряды обкладок равны +q и −q. Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку.

Величина q — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.

Пусть S — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

�+=�−=�2�0E+​=E−​=2ε0​σ​

Здесь E+ — напряжённость поля положительной обкладки, E− — напряженность поля отрицательной обкладки, σ — поверхностная плотность зарядов на обкладке.

�=��σ=Sq​

На рис. 2(слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рисунок 2. Электрическое поле плоского конденсатора

Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):

�=�++�−=0E=E+​+E−​=0

Внутри конденсатора поле удваивается:

�=�++�−=��0E=E+​+E−​=ε0​σ​

или

�=���0(1)E=Sε0​q​(1)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 2 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (1). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно d. Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов U между обкладками равна произведению E на d (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):

�=��=���0�(2)U=Ed=ε0​Sqd​(2)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

�=��(3)C=Uq​(3)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на 1 В.

Из формул (3) и (2) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора

�=�0��C=dε0​S​

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.

Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Как изменится ёмкость конденсатора?

Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в ε раз. Соответственно, вместо формулы (1) теперь имеем:

�=���0�E=εε0​Sq​

Напряжение на конденсаторе получается равным:

�=��=����0�U=Ed=εε0​Sqd​

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:

�=��0��(4)C=dεε0​S​(4)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор. Важное следствие формулы (4): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.