Колебательный контур с резистором

Рассмотрим вынужденные колебания, происходящие в колебательном контуре с активным сопротивлением. К источнику переменного напряжения U последовательно подключены: резистор сопротивлением R, катушка индуктивности L и конденсатор ёмкости C (рис. 1; такой контур называется ещё RLC-контуром).

Рис.1. Колебательный контур с резистором

Так как элементы соединены последовательно, сила тока в них одинакова в любой момент времени (вспомните условие квазистационарности!). Поэтому нам будет удобно начать не с напряжения источника, как раньше, а с силы тока, и считать, что ток в цепи колеблется по закону синуса:�=�0sin⁡��I=I0​sinwt

1. Пусть UR — мгновенное значение напряжения на резисторе. Оно связано с силой тока обычным законом Ома:

   ��=��=�0�sin⁡��(1)UR​=IR=I0​Rsinwt(1)

2. Напряжение на конденсаторе UC отстаёт по фазе от тока на π/2; это значит, что фаза напряжения UC равна ωt − π/2. Амплитуда напряжения UC равна:

   ��0=�0��=�0��UC0​=I0​XC​=wCI0​​��=��0sin⁡(��−�2)=−�0��cos⁡��(2)UC​=UC0​sin(wt−2π​)=−wCI0​​coswt(2)

3. Напряжение на катушке UL, наоборот, опережает по фазе силу тока на π/2. Амплитуда:

   ��0=�0��=�0��UL0​=I0​XL​=I0​wL��0=��0sin⁡(��+�2)=�0��cos⁡��(3)UL0​=UL0​sin(wt+2π​)=I0​wLcoswt(3)

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе:

�=��+��+��U=UR​+UC​+UL​

Подставляя сюда выражения (1)–(3), получим:

�=�0�sin⁡��+�0��cos⁡��−�0��cos⁡��=�0(�sin⁡��+(��−1��)cos⁡��)(4)U=I0​Rsinwt+I0​wLcoswt−wCI0​​coswt=I0​(Rsinwt+(wL−wC1​)coswt)(4)

Вот теперь нам и понадобится метод вспомогательного угла. Выражение во внешних скобках имеет для этого подходящий вид: a sin ωt + b cos ωt. Пользуясь методом вспомогательного угла, получим:

�=�0�2+(��−1��)sin⁡(��+�)(5)U=I0​R2+(wL−wC1​)​sin(wt+a)(5)

где

tg⁡�=��−1���(6))tga=RwL−wC1​​(6))

Угол α является сдвигом фаз между напряжением источника и силой тока в цепи: фаза напряжения больше фазы тока на величину α. Амплитуда напряжения:

�0=�0�2+(��−1��)2(7)U0​=I0​R2+(wL−wC1​)2​(7)

Получив все эти результаты, мы их несколько переиначим.

Начнём с напряжения источника. Предположим, как и ранее, что оно меняется по закону синуса:

�=�0�����U=U0​sinωt

Как мы сейчас выяснили, фаза тока меньше фазы напряжения на величину α:

�=�0sin⁡(��−�)I=I0​sin(wt−a)

При этом амплитуда силы тока находится из формулы (7):

�0=�0�2+(��−1��)2(8)I0​=R2+(wL−wC1​)2​U0​​(8)

Выражение (8) имеет вид закона Ома:

�0=�0�I0​=XU0​​

где

�=�2+(��−1��)2(9)X=R2+(wL−wC1​)2​(9)

Величина X — это полное сопротивление цепи. Такое сопротивление оказывает наш колебательный контур переменному току.

Закон Ома в данном случае выполнен лишь для амплитудных значений тока и напряжения. Мгновенные значения I(t) и U(t) уже не будут пропорциональны друг другу — ведь между ними имеется сдвиг фаз, равный α.