Потенциальная энергия заряда в однородном поле

Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию.

Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направлены вдоль оси X (рис. 1). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии из точки 1 (с координатой x1) в точку 2 (с координатой x2).

Рисунок 1. Перемещение заряда в однородном поле

Поле действует на заряд с силой �⃗F, которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа этой силы, как легко видеть, будет равна:

�=�(�2−�1)=��(�2−�1)A=F(x2​−x1​)=qE(x2​−x1​)

Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывается, ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис. 2.

Рисунок 2. Перемещение заряда в однородном поле

Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 → 3 → 2, где точка 3 лежит на одной силовой линии с точкой 1. Тогда работа A32 на участке 32 равна нулю — ведь мы перемещаемся перпендикулярно силе. В результате получим:

�=�13+�32=�13=��(�2−�1)A=A13​+A32​=A13​=qE(x2​−x1​)

Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда.

Запишем полученную формулу следующим образом:

���2−���1=−((−���2)−(���1))=−(�2−�1)=−Δ�qEx2​−qEx1​=​−((−qEx2​)−(qEx1​))=−(W2​−W1​)=−ΔW

Работа поля, оказывается равна изменению со знаком минус величины

�=−���(1)W=−qEx(1)

Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле. Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости

Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (1) следует, что при движении заряда вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за счёт убыли его потенциальной энергии.

Несложно показать, что формула (1) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия — увеличивается.

Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебраическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.