Непосредственный физический смысл связывается не с самой функций �ψ, а с квадратом ее модуля ��∗ψψ∗. Почему же в квантовой механике рассматривается волновая функция �ψ, а не непосредственно наблюдаемая величина ��∗ψψ∗?

Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества – интерференции и дифракции, которые отражают объективные, реально наблюдаемые волновые свойства материи.

Здесь дело обстоит точно так же, как и во всякой волновой теории. Эта теория принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей, пропорциональных квадрату полей, что позволяет включить в теорию явления интерференции и дифракции. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций. Оправданием такого принципа является согласие с опытом вытекающих из данного принципа следствий.

Принцип суперпозиции волновых функций

Суть данного принципа заключается в следующем. Если �1ψ1​ и �2ψ2​ – какие-либо два решения уравнения Шредингера, то и всякая линейная их комбинация �1�1+�2�2a1​ψ1​+a2​ψ2​ с постоянными и в общем случае комплексными коэффициентами �1a1​ и �2a2​ также является решением уравнения Шредингера.

Во-вторых, если волновые функции �1ψ1​ и �2ψ2​ описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная их комбинация �1�1+�2�2a1​ψ1​+a2​ψ2​ также описывает какое-то состояние этой же системы.

Рассмотрим некоторую физическую величину �f, характеризующую состояние квантовой системы. Значения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины.

В квантовой механике, как и в классической, существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд. В таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений.

Наряду с такими величинами в квантовой механике существуют величины, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.

Будем полагать для простоты, что рассматриваемая величина �f обладает дискретным спектром, и ее собственные значения обозначим как ��(�=0,1,2...)fn​(n=0,1,2...). Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина �f имеет значение ��fn​ как ��ψn​ – собственные функции величины �f. Каждая из этих функций предполагается нормированной:

∫∣��∣2��=1∫∣ψn​∣2dx=1

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией �ψ, то произведенное над ней измерение величины �f даст одно из собственных значений ��fn​. В соответствии с принципом суперпозиции волновую функцию произвольного состояния можно представить в виде ряда:

�=∑����(1.1)ψ=∑​Cn​ψn​(1.1)

где ��Cn​ – некоторые не зависящие от координат коэффициенты (для состояний, изменяющихся со временем, коэффициенты ��Cn​ зависят от времени). Последнее соотношение означает, что всякая волновая функция может быть разложена по собственным функциям любой физической величины.

В квантовой механике доказывается, что квадрат модуля ∣��∣2∣Cn​∣2 каждого из коэффициентов разложения (1.1) определяет вероятность соответствующего значения ��fn​ величины �f в состоянии с волновой функцией �ψ. Сумма вероятностей всех возможных значений ��fn​, очевидно, должна быть равна единице:

∑∣��∣2=1(1.2)∑​∣Cn​∣2=1(1.2)

(если бы функция �ψ не была нормированной, то не имело бы места и соотношение (1.2)).

Кроме того, сами коэффициенты ряда (1.1) могут быть найдены по формуле:

��=∫���∗��(1.3)Cn​=∫ψψn∗​dx(1.3)

С учетом разложения (1.1) можно увидеть, что собственные функции должны удовлетворять условиям:

∫����∗��=���(1.4)∫ψm​ψn∗​dx=δmn​(1.4)

где ���=1δmn​=1 при �=�n=m и ���=0δmn​=0 при �≠�n=m. Если говорить точно, то условие (1.4) выполняется только для невырожденного спектра энергии.

Спектр считается невырожденным, если каждому значению энергии соответствует одна волновая функция.

О функциях, подчиняющихся условию (1.4), говорят как об ортогональных. Таким образом, совокупность собственных функций ��ψn​ образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных функций, или, как говорят для краткости, систему ортонормированных функций.