В основу математического аппарата квантовой механики положен тот факт, что каждое состояние системы микрочастиц может быть описано некоторой функцией координат и времени �(�,�,�,�)ψ(x,y,z,t). Ее называют волновой функцией (пси-функцией). В общем случае эта функция является комплексной.

Физический смысл ее заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в пределах объема ��dV:

��=�∣�∣2��dP=A∣ψ∣2dV

, где �A — некоторый коэффициент пропорциональности, который находится из условия �∫∣�∣2��=�∫��∗��=1A∫∣ψ∣2dV=A∫ψψ∗dV=1 (знак ∗ означает комплексное сопряжение). Это позволяет переопределить пси-функцию таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки для самой волновой функции: ∫∣�∣2��=1∫∣ψ∣2dV=1.

Из смысла пси-функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции можно только предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в данном месте пространства.

Сама волновая функция является решением дифференциального уравнения, которое впервые получил Шредингер в 1926 г.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики и не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами. Само уравнение выглядит следующим образом:

Уравнение Шредингера

−ℎ22�Δ�+��=�ℎ∂�∂�−2mh2​Δψ+Uψ=ih∂t∂ψ​

где Δ=∂2∂�2+∂2∂�2+∂2∂�2Δ=∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​ — оператор Лапласа, �m — масса частицы, �(�,�,�,�)U(x,y,z,t) — функция, градиент которой, взятый со знаком минус, определяет силу, действующую на частицу.

Если функция �U не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то �U не зависит явно от времени, и в этом случае решение уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых зависит только от времени, другой – от координат:

�(�,�,�,�)=�(�,�,�,)exp⁡(−���ℎ)ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z,)exp(−hiEt​)

где �E — полная энергия частицы (в случае стационарных полей остается постоянной). После подстановки этого выражения в исходное уравнение Шредингера и сокращения на exp⁡(−���ℎ)exp(−hiEt​) получаем уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

−ℎ22�Δ�+��=��−2mh2​Δψ+Uψ=Eψ

В дальнейшем будем иметь дело в основном с этим уравнением. Иначе это уравнение можно переписать в следующем виде:

Δ�+2�ℎ2(�−�)�=0Δψ+h22m​(E−U)ψ=0

где под �U будем понимать потенциальную энергию частицы.

Из физического смысла пси-функции следует, что она должна быть однозначной, непрерывной и конечной – т.е. отвечать стандартным условиям. Иногда встречаются ситуации, когда имеет смысл не квадрат модуля волновой функции, а отношение квадратов модулей волновых функций, взятых в разных точках пространства. Это отношение дает относительную вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства.

Известно, что уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет решения не при всех значениях параметра �E, а только при некоторых, называющихся собственными значениям энергии. Тогда соответствующие им значения �(�,�,�)ψ(x,y,z) — называются собственными функциями.