Число Рейнольдса

Характер движения жидкости (ламинарное или турбулентное) зависит, как установил английский физик и инженер Осборн Рéйнольдс, от значения безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса.

Число Рейнольдса Re характеризует соотношение между свойствами инерции и вязкости жидкостей или газов:

Re⁡=����Re=ηρνl​

где ρ — плотность жидкости (или газа); v — характерная (средняя по сечению) скорость потока; l — характерный линейный размер (размер сечения); η — коэффициент динамической вязкости жидкости или газа.

При малых значениях Re течение ламинарное, начиная с некоторого критического значения Re, течение становится турбулентным. Но при очень больших числах Рейнольдса, когда потери на преодоление трения относительно малы, турбулентность опять перестает играть заметную роль.

Для каждого вида течения существует такое критическое число Рейнольдса, что при числе Рейнольдса меньшем, чем критическое, возможно только ламинарное течение.

Закон Стокса

При небольших скоростях движения твердого тела в вязкой среде и небольших его размерах сила сопротивления среды F пропорциональна динамической вязкости η, скорости движения тела v и линейным размерам тела l :

�=��(−�)�(1)F=kη(−v)l(1)

где коэффициент пропорциональности k зависит от формы тела. Формула (1), строго говоря, справедлива лишь для случая движения твердого тела в безграничной жидкости, но может быть применима и для случаев, когда расстояние от движущегося тела до границ жидкости значительно больше размеров тела.

В частном случае движения в жидкости тел сферической формы (шаров) формула (1) преобразуется в закон Стокса, установленный Стоксом в 1851 г.:

�=−6����(2)F=−6πηrυ(2)

где F — сила Стокса; r — радиус шара; v — скорость его движения.

Закон Стокса справедлив лишь для малых чисел Рейнольдса (Re⁡≪1Re≪1 ), т. к. получен в предположении, что:

• скорость движения шара достаточно мала, а обтекание его жидкостью является ламинарным;

• скольжение жидкости на границе соприкосновения шарика со средой отсутствует;

• шар твердый и не деформируется;

• радиус шара велик по сравнению с длиной свободного пробега молекулы жидкости.

Закон Стокса используется в коллоидной химии, молекулярной физике, метеорологии. По закону Стокса можно определить скорость осаждения мелких капель тумана, коллоидных частиц, кусочков ила и других мелких частиц. Закон Стокса применяют также для определения коэффициента вязкости очень вязких жидкостей (вискозиметрия).

Рассмотрим случай падения маленького твердого шарика в вязкой среде под действием собственного веса.

На такой шарик действуют 3 силы:

• сила тяжести �тFт​ (численно равная весу P шарика), направленная вниз:

  �т=�ш��=�ш43��3�Fт​=ρш​Vg=ρш​34​πr3g

где ρш — плотность шарика; r — его радиус; g — ускорение свободного падения; V — объем шарика;

• выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх:

  ��=−�ж43��3�FA​=−ρж​34​πr3g

где ρж — плотность жидкости;

• сила внутреннего трения в жидкости (сила Стокса), направленная в сторону, противоположную направлению движения шарика:

  �=−6����F=−6πηrυ

Первые две силы постоянны, третья сила пропорциональна скорости v, поэтому при достижении шариком скорости �0v0​ выталкивающая сила и сила сопротивления в сумме уравновешивают силу тяжести (�=��−��F=FT​−FA​), и, следовательно, дальше шарик движется без ускорения. В начальный момент после погружения шарика в жидкость ускорение шарика близко к ускорению свободного падения — шарик движется с возрастающей скоростью. С некоторого момента времени шарик начинает двигаться равномерно с постоянной скоростью �0v0​. Уравнение действующих сил для случая равномерного падения шарика со скоростью �0v0​ запишем в виде:

43��3�(�ш−�ж)=6����0(3)34​πr3g(ρш​−ρж​)=6πηrυ0​(3)

Решая уравнение (3) относительно η, получим:

�=29�2�(�ш−�ж)�0(1+2,4��)η=92​r2gv0​(1+2,4Rr​)(ρш​−ρж​)​

где g — ускорение свободного падения; ρш — плотность шарика; ρж — плотность жидкости; r — радиус шарика; R — внутренний радиус сосуда; �0v0​ — скорость равномерного движения шарика в жидкости.