Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами �1⃗p1​​ и �2⃗p2​​ соответственно. Импульс �⃗p​ системы данных тел — это векторная сумма импульсов каждого тела:

�⃗=�1⃗+�2⃗p​=p1​​+p2​​

Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона. Давайте выведем эту формулу. Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть �1⃗F1​​ — результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично �2⃗F2​​ — результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 1)

Рисунок 1. Система двух тел

Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой �⃗T. Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой �0⃗T0​​. По третьему закону Ньютона силы �⃗T и �0⃗T0​​равны по модулю и противоположны по направлению: �0⃗=−�⃗T0​​=−T. Силы �⃗T и �⃗0T0​ — это внутренние силы, действующие в системе.

Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме:

��1⃗��=�1⃗+�⃗dtdp1​​​=F1​​+T��2⃗��=�2⃗+�′⃗dtdp2​​​=F2​​+T′

Сложим равенства:

��1⃗��+��2⃗��=�1⃗+�2⃗+�⃗+�′⃗dtdp1​​​+dtdp2​​​=F1​​+F2​​+T+T′

В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов �1⃗p1​​ и �2⃗p2​​. В правой части имеем �⃗T+ �′⃗T′ = 0 в силу третьего закона Ньютона:

�(�1⃗+�2⃗)��=�1⃗+�2⃗.dtd(p1​​+p2​​)​=F1​​+F2​​.

Но �⃗=�1⃗+�2⃗p​=p1​​+p2​​ — это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также �1⃗+�2⃗=�внеш⃗F1​​+F2​​=Fвнеш​​ — это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:

��⃗��=�внеш⃗dtdp​​​=Fвнеш​​

Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.

Формула была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.

Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему.

Если система состоит из N тел, то импульс этой системы равен:

�⃗=�⃗1+�2⃗+...+��⃗.p​=p​1​+p2​​+...+pn​​.