Неравномерное движение — движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем.

Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна �v. Возьмём два момента времени: начальный момент �1t1​и конечный момент �2t2​. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна Δ�=�2−�1Δt=t2​−t1​. Очевидно, что за промежуток времени [�1;�2][t1​;t2​] тело проходит путь: �=�(�2−�1)=�Δ�s=v(t2​−t1​)=vΔt

Давайте построим график зависимости скорости от времени при равномерном движении. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис.1).

Рисунок 1. Путь при равномерном движении

Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель �v в формуле есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель ∆t — его горизонтальная сторона. Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения. Пусть скорость тела �v зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке [�1;�2][t1​;t2​] график скорости выглядит, например, так(рис.2):

Рисунок 2. Неравномерное движение

Дальше мы рассуждаем следующим образом.

1. Разобьём наш промежуток времени[�1;�2][t1​;t2​] на небольшие отрезки величиной ∆t.

2. Предположим, что на каждом таком отрезке тело движется с постоянной скоростью. То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и скачком меняется. На рис. показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек ∆t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом. Путь, пройденный за время ∆t равномерного движения — это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого «ступенчатого» движения — это сумма площадей всех прямоугольников на графике.

3. Теперь устремляем ∆t к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 1. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от �1t1​ до �2t2​ (рис. 4).

Ступенчатая аппроксимация — это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.

На рис. 3 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек ∆t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.

Рисунок 3. Ступенчатая аппроксимация

Путь, пройденный за время ∆t равномерного движения — это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого «ступенчатого» движения — это сумма площадей всех прямоугольников на графике.

Рисунок 4. Путь при неравномерном движении

Геометрическая интерпретация пути — путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.