Рассмотрим тело массы m, находящееся на некоторой высоте над поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем. Если тело находится на высоте h, то потенциальная энергия тела по определению равна:

�=��ℎW=mgh

где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Высоту не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Как мы увидим ниже, физическим смыслом обладает не сама по себе потенциальная энергия, но её изменение. А изменение потенциальной энергии не зависит от уровня отсчёта. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется исключительно соображениями удобства. Найдём работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела. Предположим, что тело перемещается по прямой из точки P, находящейся на высоте h1, в точку Q, находящуюся на высоте h2 (рис. 1)

A = mg(h1 − h2)

Угол между силой тяжести ��⃗mg​ и перемещением тела �⃗s обозначим α. Для работы силы тяжести получим:

�=��⃗�⃗=���cos⁡�A=mg​s=mgscosa

Но, как видно из рис. 1.,�����=ℎ1−ℎ2scosα=h1​−h2​. Поэтому

�=��(ℎ1−ℎ2)=��ℎ1−��ℎ2,A=mg(h1​−h2​)=mgh1​−mgh2​,

или

�=�1−�2A=W1​−W2​

Учитывая, что �1−�2=−(�2−�1)=−Δ�W1​−W2​=−(W2​−W1​)=−ΔW, имеем также:

�=−Δ�A=−ΔW

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках траектории. Иными словами, работа силы тяжести всегда равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. В частности, работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.

Сила называется консервативной, если при перемещении тела работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Сила тяжести, таким образом, является консервативной. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.

Потенциальная энергия деформированной пружины

Рассмотрим пружину жёсткости k. Начальная деформация пружины равна �1x1​. Предположим, что пружина деформируется до некоторой конечной величины деформации �2x2​. Чему равна при этом работа силы упругости пружины? В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегрирование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат. Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин �1,�2x1​,x2​ и определяется формулой:

�=��122−��222A=2kx12​​−2kx22​​

Величина

�=��22W=2kx2​​

называется потенциальной энергией деформированной пружины (x — величина деформации). Следовательно,

�=�1−�2=−Δ�A=W1​−W2​=−ΔW