Уравнение Бернулли

Рассмотрим ламинарное стационарное (т. е. форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой точке со временем не изменяются) течение несжимаемой (идеальной) жидкости внутри узкой трубки тока, ограниченной поперечными сечениями Δ�1ΔS1​ и Δ�1ΔS1​ (рис. 1). Пусть в сечении Δ�1ΔS1​ скорость жидкости �1v1​, а в сечении Δ�2ΔS2​ скорость �2v2​. За промежуток времени Δt рассматриваемый объем сместится на расстояние �1Δ�v1​Δt в сечении Δ�1ΔS1​ и на расстояние �2Δ�v2​Δt в сечении Δ�2ΔS2​. Так как по предположению жидкость несжимаема, то при перемещении ее объем не изменяется:

Δ�=�1Δ�Δ�1=�2Δ�Δ�2ΔV=v1​ΔtΔS1​=v2​ΔtΔS2​

Рисунок 1. Течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. Условие несжимаемости

Скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубки тока; в разных сечениях скорости относятся как обратные значения сечений.

Изменение энергии рассмотренного объема равняется совершенной над ним работе внешних сил. Внешними силами являются силы давления со стороны остальной части жидкости. Изменение положения объема за время Δt определяется тем, что объем Δ�1=�1Δ�Δ�1ΔV1​=v1​ΔtΔS1​ при ламинарном течении несжимаемой жидкости перешел в равный ему объем Δ�2=�2Δ�Δ�2ΔV2​=v2​ΔtΔS2​ ; массы этих объемов Δm равны, т. к. жидкость несжимаема, а, следовательно, плотность жидкости всюду одинакова:

Δ�=�Δ�1=�Δ�2(1)Δm=ρΔV1​=ρΔV2​(1)

Разность энергий объемов Δ�1ΔV1​ и Δ�2ΔV2​ равна работе Δ�ΔA внешних сил. Так как полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий, то можно написать:

(��2+�П2)−(��1−�П1)=Δ�[�222+�ℎ2−(�122+�ℎ1)]=Δ�(EK2​+EП2​)−(EK1​−EП1​)=Δm[2v22​​+gh2​−(2v12​​+gh1​)]=ΔA

где ℎ1h1​ и ℎ2h2​ — высóты, занимаемые объемами Δ�1ΔV1​ и Δ�2ΔV2​ над некоторым произвольно выбранным уровнем.

Если давления в первом и втором сечениях равны �1p1​ и �2p2​ соответственно, то Δ�=�1�1Δ�Δ�1−�2�2Δ�Δ�2ΔA=p1​v1​ΔtΔS1​−p2​v2​ΔtΔS2​ (работа внешних сил во втором сечении отрицательна, т. к. силы давления противоположны направлению скорости). Поэтому:

Δ�[�222+�ℎ2−(�122+�ℎ1)]=�1�1Δ�Δ�1−�2�2Δ�Δ�2(2)Δm[2v22​​+gh2​−(2v12​​+gh1​)]=p1​v1​ΔtΔS1​−p2​v2​ΔtΔS2​(2)

Подставляя в (2) выражение для Δm из (1), сокращая на �1Δ�Δ�1=�2Δ�Δ�2v1​ΔtΔS1​=v2​ΔtΔS2​ и перенося члены для первого объема влево, а члены для второго объема направо, получим:

��122+��ℎ1+�1=��222+��ℎ2+�2(3)2ρv12​​+ρgh1​+p1​=2ρv22​​+ρgh2​+p2​(3)

Если ℎ1=ℎ2h1​=h2​ (труба горизонтальная), то:

��122+�1=��222+�22ρv12​​+p1​=2ρv22​​+p2​

Поскольку выбор сечений был произвольным, сумма величин ��22+��ℎ+�2ρv2​​+ρgh​+p​ остается постоянной в любом сечении:

��22+��ℎ+�=�����2ρv2​+ρgh+p=const

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее течения в математической форме была впервые установлена швейцарским ученым Даниилом Бернýлли (Daniel Bernoulli, 1700—1782 гг.) в 1726—1738 гг.

Уравнение Бернулли (3) связывает скорость v и давление p в ламинарном потоке идеальной несжимаемой жидкости: при установившемся течении давление в текущей жидкости больше там, где меньше ее скорость. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.