Уравнение гармонических колебаний. Время: 3.27-6.20

Вернёмся к гармоническому закону:

�=����(��+�)x=Acos(ωt+α)

Дифференцируем это равенство:

��=−�����(��+�)vx​=−Aωsin(ωt+α)

Теперь дифференцируем полученное равенство:

��=�‾=−��2���(��+�).ax=x=−Aω2cos(ωt+α).

Давайте сопоставим выражение 1 для координаты и выражение 3 для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем −�2−w2 :

��=−�2�ax​=−ω2x

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

�‾+�2�=0x+ω2x=0

C математической точки зрения это уравнение является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре). Так вот, можно доказать, что:

• решением уравнения является всякая функция вида �=����(��+�)x=Acos(ωt+α) с произвольными A и α;

• никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения ��=−�2�ax​=−ω2x и �‾+�2�=0x+ω2x=0 описывают гармонические колебания с циклической частотой ω и только их. Две константы A и α определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.