Зависимость веса тела от широты местности

При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции, равную ��2�mw2R, где m — масса тела, ω — угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси, а R — расстояние тела от земной оси (рис. 1).

Угловая скорость вращения Земли ω равна:

�=2�86400≈7,3⋅10−5рад⋅с−1w=864002π​≈7,3⋅10−5рад⋅с−1

Если считать Землю идеальным шаром, то, в случаях, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить R равным �3cos⁡�R3​cosφ (где �3R3​— радиус Земли, а �φ — широта местности). Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид:

�цб=��2�3cos⁡�Fцб​=mw2R3​cosφ

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g обусловлено действием двух сил: силы тяготения Fтяг, с которой тело притягивается Землей, и силы Fцб. Результирующая этих сил есть сила тяжести, равная mg.

Отличие силы тяжести от силы тяготения невелико, т. к. центробежная сила инерции значительно меньше силы тяготения (отношение максимального значения ускорения центробежной силы инерции (на экваторе) к минимальному значению ускорения притяжения составляет 1/288). Примем Землю за вращающийся шар (в действительности Земля представляет собой эллипсоид вращения с весьма малым коэффициентом сжатия) и вычислим зависимость ускорения свободного падения g от географической широты �φ:

�2=(�⋅��32)2−2�⋅��32�2�3cos⁡�+(�2�3cos⁡�)2g2=(R32​G⋅M​)2−2R32​G⋅M​w2R3​cosφ+(w2R3​cosφ)2

откуда:

�≈�⋅��32(1−�2�3�⋅��32cos⁡2�)g≈R32​G⋅M​(1−R32​G⋅M​w2R3​​cos2φ)

Полагая приближенно:

�3≈6,4⋅108см,�⋅��32≈980см⋅с−2,�2�3�⋅��32≈0.0033R3​≈6,4⋅108см,R32​G⋅M​≈980см⋅с−2,R32​G⋅M​w2R3​​≈0.0033

получим:

�≈980(1−0,0033cos⁡2�)см⋅с−2(1)g≈980(1−0,0033cos2φ)см⋅с−2(1)

Выражение (1) не является точным представлением действительного широтного хода силы тяжести. Отличия возникают из-за приближенного характера использованной формулы и отклонения формы Земли от сферической.

Направление силы тяжести не перпендикулярно поверхности. Угол наклона θ можно вычислить из соотношения:

�=�sin⁡��=12�2�3�sin⁡2�θ=gfsinφ​=21​gw2R3​​sin2φ

При ϕ = 45º угол наклона θ принимает максимальное значение (около 6′).

Направление силы тяжести совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называют направлением отвеса или вертикальным направлением. Получается, что вертикаль направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе.

Направление силы тяжести и направление к центру масс Земли различны (от 0 на экваторе и на полюсах до почти 6′ на широте 45°).

Разность между силой притяжения к Земле и силой тяжести равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы тяжести, на экваторе.

Сила тяжести на поверхности Земли является суммой силы притяжения, направленной к центру масс Земли, и центробежной силы инерции, направленной перпендикулярно оси вращения Земли.