Функция распределения Максвелла

Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 г. с помощью методов теории вероятностей.

Функция распределения Максвелла характеризует распределение молекул по скоростям и определяется отношением кинетической энергии молекулы ��222mv2​ к средней энергии её теплового движения ��kT:

�(�)=�����=4�(�2��)32exp⁡(−��22��)�2f(v)=ndvdn​=π​4​(2kTm​)23​exp(−2kTmv2​)v2

Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в интервале скоростей от �v до �v+Δ�v, включающем данную скорость.

Обозначим множитель перед экспонентой через АА, тогда из представленного уравнения получим окончательное выражение функции распределения Максвелла:

�(�)=�exp⁡(−��22��)�2f(v)=Aexp(−2kTmv2​)v2

График функции распределения Максвелла

На графике функции показаны наиболее вероятная, среднеарифметическая и среднеквадратичная скорости газовых молекул.

Средние скорости распределения Максвелла

Из графика функции распределения Максвелла, видно, что наиболее вероятная скорость – скорость, на которую приходится максимум зависимости.

• Наиболее вероятная скорость молекулы:

�вер=2��� или для одного моля �вер=2���vвер​=m2kT​​ или для одного моля vвер​=μ2RT​​

• Среднеарифметическая скорость молекулы:

<�>=8���� или для одного моля <�>=8����<v>=πm8kT​​ или для одного моля <v>=πμ8RT​​

• Среднеквадратичная скорость молекулы:

�кв=3��� или для одного моля �кв=3���vкв​=m3kT​​ или для одного моля vкв​=μ3RT​​

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

Максвелловское распределение молекул

На рисунке показано, что при увеличении массы молекул (m1 > m2 > m3) и при уменьшении температуры (T1 < T2 < T3) максимум функции распределения Максвелла смещается вправо, в сторону увеличения скоростей.

Площадь под кривой – величина постоянная, равная единице, поэтому важно знать, как будет изменяться положение максимума кривой:

�(�)f(v)~�/�m/T​, кроме того �v~�/�T/m​

Выводы:

• Вид распределения молекул газа по скоростям зависит от рода газа и от температуры. Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.

• В показателе степени f(v) стоит отношение кинетической энергии, соответствующей данной скорости, к средней энергии теплового движения молекул; значит, распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии.

• Максвелловский закон – статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Формула Максвелла для относительных скоростей

Относительную скорость обозначим через �=�/�верu=v/vвер​ .

Тогда получим закон распределения Максвелла в приведенном виде:

�(�)=�����=4�exp⁡(−�2)�2f(u)=ndvdn​=π​4​exp(−u2)u2

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.