Для определения углов закручивания стержней круглого поперечного сечения используем дифференциальное уравнение.

����=����GIρ​T​=dzdφ​

Полагаем, что крутящий момент и диаметр стержня на этом участке постоянные. Отсюда имеем:

��=������dφ=GIρ​T​dz

Проинтегрируем левую и правую части уравнения:

��=∫0�������=�����dφ=∫0l​GIρ​T​dz=GIρ​Tl​

В результате получена формула для угла закручивания участка стержня круглого или кольцевого поперечного сечения постоянной жесткости и постоянным крутящим моментом. Полученная формула называется законом Гука при кручении:

Δ�=�����Δφ=GIρ​Tl​​

Где

• T — крутящий момент на участке стержня;

• l — длина участка стержня;

• G — модуль сдвига;

• ��Ip​ — полярный момент инерции поперечного сечения;

• ���GIp​ — жесткость стержня при кручении.

Иногда в расчетах требуется найти относительный угол закручивания, то есть угол закручивания, приходящийся на один метр длины стержня.

Относительный угол закручивания равен:

�=Δ��=�����⋅1�=����θ=LΔφ​=GIp​TL​⋅I1​=GIp​T​

Окончательно имеем формулу для относительного угла закручивания стержня круглого или кольцевого сечений:

�=����θ=GIp​T​​