Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки Z, вызванное ее искривлением, называется прогибом балки и обозначается буквой V. В некоторых случаях в строительстве и машиностроении требуется определять прогибы. Это связано с тем, что деформации некоторых строительных конструкций лимитированы. Так, например, ограничиваются прогибы балок и плит по эстетическим соображениям или с целью уменьшить динамику конструкций. Поэтому надо уметь определять перемещения и углы поворота сечений балок. Рассмотрим консоль, испытывающую поперечный изгиб.

Перемещения конца консоли при поперечном изгибе

Пусть на конце консоли действует вертикальная сосредоточенная сила F. В результате в сечениях консоли появятся изгибающие моменты, которые приведут к искривлению балки. Ее точка B переместится по направлению оси Z и по направлению оси Y. Эти перемещения, соответственно, обозначим W и V. Перемещение по горизонтальному направлению W незначительное и в расчетах им пренебрегают. Вертикальное перемещение (прогиб) V значительно больше горизонтального перемещения W и должно учитываться в расчетах.

Для определения прогибов воспользуемся уравнением для кривизны:

1�=�����ρ1​=EIx​Mx​​

Из курса высшей математики известно, что кривизна кривой линии может быть найдена по формуле:

1�=�2���2[1+(����)2]32ρ1​=[1+(dzdV​)2]23​dz2d2V​​

Так как для реальных балок, встречающихся в строительстве, угол поворота поперечного сечения величина малая по сравнению с единицей:

�=����≪1θ=dzdV​≪1

То квадратом производной можно пренебречь. Тогда формула для кривизны упрощается и принимает вид:

1�=�2���2ρ1​=dz2d2V​

Тогда приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки принимает вид:

�2���2=�����dz2d2V​=EIx​Mx​​​