Наиболее часто употребляемые формы сечений элементов конструкций являются сечения прямоугольной, треугольной и круглой форм.

Получим формулы для определения моментов инерции сечения прямоугольной формы:

Сечения прямоугольной (а) и круглой (б) форм

Выразим момент инерции относительно оси �1:X1​:

��1=∫��2��=∫0ℎ�2���=�∫0ℎ�2��=��33∣0ℎ=�ℎ33Ix1​=∫A​y2dA=∫0h​y2bdy=b∫0h​y2dy=3by3​∣∣​0h​=3bh3​

Таким образом, момент инерции прямоугольного сечения относительно оси, проходящей через его основание, равен:

��1=�ℎ33Ix1​=3bh3​​

Получим формулу для момента инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной его основанию. Для этого используем зависимость моментов инерции относительно параллельных осей:

��=��1−�02�=�ℎ33−(ℎ2)2�ℎ=�ℎ33−�ℎ34=�ℎ312Ix​=Ix1​−y02​A=3bh3​−(2h​)2bh=3bh3​−4bh3​=12bh3​

Окончательно имеем:

��=�ℎ312Ix​=12bh3​​

В формулах выше в куб возводится размер той стороны, которая перпендикулярна оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Получим формулы для вычисления моментов инерции сечения круглой формы. В качестве элементарной площадки здесь удобно выбрать кольцо толщиной равной дифференциалу dp. Тогда полярный момент инерции равен по определению:

��=∫��2��=∫0�2�22���=2�∫0�2�3��=2��44⋅16∣0�2=2��432Ip​=∫A​p2dA=∫02D​​p22πdp=2π∫02D​​p3dp=4⋅162πp4​∣∣​02D​​=322πd4​

Окончательно имеем:

��=2��432Ip​=322πd4​​

Выведем формулу для вычисления осевого момента инерции круглого сечения, используя ранее полученные зависимости между полярным и осевыми моментами инерции:

��=��;��=��+��=2��=2��432Ix​=Iy​;Ip​=Ix​+Iy​=2Ix​=322πD4​

Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения круглого сечения равен:

��=��=2��432Ix​=Iy​=322πD4​​