Получим формулы для вычисления моментов инерции сечения треугольной формы.

Сечение треугольной формы

Ширина элементарной полоски меняется в зависимости от ее положения, то есть является функцией от y.

�(�)=�−�ℎ⋅�b(y)=b−hb​⋅y

Проверим, так ли это:

Очевидно, что выбранная функция подходит.

Момент инерции относительно оси�1X1​ равен:

��1=∫��2��=∫0ℎ�2�(�)��=∫0ℎ�2(�−�ℎ�)��=�∫0ℎ�2��−�ℎ∫0ℎ�3��=��33∣0ℎ−�ℎ�44∣0ℎ=�ℎ33−�ℎ34=�ℎ312Ix1​=∫A​y2dA=∫0h​y2b(y)dy=∫0h​y2(b−hb​y)dy=b∫0h​y2dy−hb​∫0h​y3dy=3by3​∣∣​0h​−hb​4y4​∣∣​0h​=3bh3​−4bh3​=12bh3​

Окончательно имеем формулу для вычисления момента инерции треугольного сечения относительно оси, проходящей через его основание:

��1=�ℎ312Ix1​=12bh3​​

Используя зависимость моментов инерции относительно параллельных осей, получим:

���=��1−(ℎ3)2⋅�=�ℎ312−(ℎ3)2⋅12�ℎ=�ℎ312−ℎ29⋅�ℎ2=�ℎ312−�ℎ318=�ℎ336;Ixc​=Ix1​−(3h​)2⋅A=12bh3​−(3h​)2⋅21​bh=12bh3​−9h2​⋅2bh​=12bh3​−18bh3​=36bh3​;

Окончательно имеем:

���=�ℎ336Ixc​=36bh3​​

Обратим внимание, что ось �сXс​ является центральной осью, параллельной основанию треугольника.