Рассмотрим два случая изгиба пластины прямоугольного сечения.

Изгиб пластины в двух плоскостях

Очевидно, что прогиб в первом случае гораздо больше прогиба во втором случае. При этом материал стержней и площадь поперечного сечения в обоих случаях одинаковые, а прогибы разные. Следовательно, площадь сечения не может полностью характеризовать сопротивление стержня изгибу. Поэтому при изгибе, кручении и других видах сопротивления следует использовать иные более сложные геометрические характеристики.

Декартовые и полярные координаты точки сечения

Дадим определения некоторым геометрическим характеристикам плоских поперечных сечений.

Статическим моментом ��(��)Sx​(Sy​) плоского сечения относительно оси X (Y) называется геометрическая характеристика равная интегралу:

��=∫����;��=∫����,см3Sx​=∫A​ydA;Sy​=∫A​xdA,см3​

Статический момент может быть равным нулем, меньше или больше нуля.

Центром тяжести плоского сечения является точка, координаты которой вычисляются по формулам:

��=���;��=���xc​=ASy​​;yc​=ASx​​​

• Здесь X, Y – произвольные оси координат.

Отметим, что название этой очень важной в механике точки имеет ограниченный смысл. Ведь она (эта точка) существует и в том случае, когда тяжести нет. Но отдавая дань всей истории механики, оставим и будем пользоваться этим названием и впоследствии.

Отсюда следует, что статические моменты плоского сечения можно вычислить по формулам:

��=�⋅��;��=�⋅��Sx​=A⋅yc​;Sy​=A⋅xc​​

Очень важным выводом является то, что если оси X и Y являются центральными, то координаты центра тяжести сечения равны нулю ��=0и��=0xc​=0иyc​=0. А это значит, что статические моменты относительно центральных осей всегда равны нулю

���=0;���=0Sxc​​=0;Syc​​=0

Центр тяжести всегда располагается на оси симметрии, если она имеется у сечения. К такому выводу можно прийти, рассуждая чисто логически. Например, пусть сечение имеет ось симметрии, и центр тяжести лежит не на оси симметрии, а где-то слева или справа от нее. Тогда по законам симметрии такая же точка должна располагаться по другую сторону от оси симметрии. Отсюда следует, что сечение имеет два центра тяжести, что невозможно по условию.

Осевым (экваториальным) моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика численно равная интегралу:

��=∫��2��;��=∫��2��Ix​=∫A​y2dA;Iy​=∫A​x2dA​

Отметим, что ��,��Jx​,Jy​ — всегда величина положительная и измеряется в см4см4, м4.м4.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика равная интегралу:

��=∫��2��Ip​=∫A​p2dA​

Полярный момент инерции всегда величина положительная, измеряется в см4,мм4.см4,мм4.

Между полярными координатами и декартовыми координатами существует связь:

�2=�2+�2p2=x2+y2

Подставим эту зависимость в выражение для полярного момента инерции:

��=∫��2��=∫�(�2+�2)��=∫��2��+∫��2��=��+��Ip​=∫A​p2dA=∫A​(x2+y2)dA=∫A​x2dA+∫A​y2dA=Ix​+Iy​

То есть, имеем связь полярного и осевых моментов инерции при условии, что оси X и Y взаимноперпендикулярные, а полюс расположен в точке пересечения этих осей:

��=��+��Ip​=Ix​+Iy​​

Центробежным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика равная интегралу:

���=∫���2��Dxy​=∫A​xy2dA​

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю, а измеряется в см4,м4см4,м4 и пр.