Если балка постоянной жесткости EJ и имеет несколько участков, то удобнее прогибы и углы поворота определять по методу начальных параметров. Возьмем приближенное дифференциальное уравнение:

�2���2=����dz2d2V​=EIMx​​

Учтем, что производная от прогиба равна углу поворота:

����=�dzdV​=θ

Поэтому первое уравнение можно записать в следующем виде:

���(����)=����=����dzd​(dzdV​)=dzdθ​=EIMx​​

Разделим дифференциалы:

��=������dθ=EIMx​​dz

Проинтегрируем левую и правую части уравнения:

��∫�0���=∫0�����EI∫θ0​θ​dθ=∫0z​Mx​dz

или

���−���0=∫0�����EIθ−EIθ0​=∫0z​Mx​dz

В уравнении выше перенесем���0EIθ0​ в правую часть:

���=���0+∫0�����EIθ=EIθ0​+∫0z​Mx​dz

Далее выразим угол поворота через прогибы:

������=���0+∫0�����EIdzdV​=EIθ0​+∫0z​Mx​dz

или

��⋅��=���0⋅��+(∫0�����)⋅��EI⋅dV=EIθ0​⋅dz+(∫0z​Mx​dz)⋅dz

Проинтегрируем левую и правую части уравнения:

��⋅∫�0���=���0∫0���+∫0���∫0�����EI⋅∫V0​V​dV=EIθ0​∫0z​dz+∫0z​dz∫0z​Mx​dz

или:

���−���0=���0�+∫0���∫0�����EIV−EIV0​=EIθ0​z+∫0z​dz∫0z​Mx​dz

Перенесем ���0EJV0​ в правую часть уравнения и получим:

���=���0+���0�+∫0���∫0�����EIV=EIV0​+EIθ0​z+∫0z​dz∫0z​Mx​dz​

Получена интегральная форма функции прогибов балки. Здесь �0и�0V0​иθ0​ — начальные параметры. На основе полученной зависимости строится метод начальных параметров.