При построении эпюры ��Qy​ положительные ординаты откладываем вверх, а отрицательные вниз.

При построении эпюры ��Mx​ положительные ординаты откладываем вниз, а отрицательные вверх.

Используя метод сечений, составляются аналитические выражения (функции) для ��Qy​ и ��Mx​ на каждом характерном участке балки. По полученным функциям строятся графики (эпюры).

Пример

Построение эпюр внутренних сил методом составления аналитических выражений (функций)

Реакции опор равны друг другу. Поэтому каждая из них равна половине равнодействующей от нагрузки q:

��=��=��2YA​=YB​=2ql​

Для более четкого понимания выполним расчет от каждой внешней силы отдельно. Вначале приложим к левой части балки только реакцию ��Ya​ на опоре A и выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z — координаты сечения.

Определение внутренних сил в сечении балки от реакции на левой опоре: а) поперечной силы; б) изгибающего момента

Реакция�АYА​ сдвигает рассматриваемую часть балки вверх. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила ��,Qy​, равная реакции �АYА​и направленная вниз. Так как сдвиг, вызванный парой сил�Аи��,YА​иQy​, направлен по ходу часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается положительным.

��=+��=+��2QY​=+Ya​=+2ql​

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил. Реакция�АYА​ «пытается» повернуть левую часть балки относительно сечения S по ходу часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент ��Mx​направлен против хода часовой стрелки. Из рисунка очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена в сторону продольных волокон, поэтому вызывает их сжатие. Нижняя стрелка пары сил, изображающих изгибающий момент��Mx​, направлена вправо, то есть из материала. Значит, она вызывает растяжение нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент положительный.

��=+��⋅��=+��2⋅��MX​=+Ya​⋅dz=+2ql​⋅dz

Затем, приложим к левой части балки только часть равномерно распределенной нагрузки q и так же выразим поперечную силу и изгибающий момент как функции аргумента z — координаты сечения.

Определение внутренних сил в сечении балки от части равномерно распределенной нагрузки

Равнодействующая от части равномерно распределенной нагрузки, приложенной к рассматриваемой части балки, сдвигает рассматриваемую часть балки вниз. Материал сопротивляется этому сдвигу. Поэтому появляется поперечная сила ��Qy​, равная равнодействующей �⋅�q⋅z и направленная вверх. Так как сдвиг, вызванный парой сил �⋅�q⋅z и ��Qy​, направлен против хода часовой стрелки, то знак поперечной силы, согласно принятым правилам, принимается отрицательным.

��=−��QY​=−qz

Для наглядности изгибающий момент изобразим в виде пары сил. Равнодействующая части равномерно распределенной нагрузки q «пытается» повернуть левую часть балки относительно сечения S против хода часовой стрелки. Поэтому изгибающий момент ��Mx​ направлен по ходу часовой стрелки. Из рисунка очевидно, что верхняя стрелка пары сил, изображающей изгибающий момент, направлена из материала, поэтому вызывает растяжение верхних волокон. Нижняя стрелка пары сил, изображающих изгибающий момент ��Mx​, направлена влево, то есть в сторону материала. Значит, она вызывает сжатие нижних продольных волокон. Отсюда следует согласно правилу знаков для изгибающих моментов, что изгибающий момент от части равномерно распределенной нагрузки положительный.

��=−�⋅�⋅�2=−��22MX​=−q⋅z⋅2z​=−2qz2​

Учитывая принцип независимости сил, суммируем обе поперечные силы и оба изгибающих момента. В результате получим аналитические выражения для поперечной силы и для изгибающего момента, вызванные всей нагрузкой на балку.

��=��2−��=�(�−�)2QY​=2ql​−qz=2q(l−z)​��=��2⋅�−�⋅�⋅�2=��(�−�)2MX​=2ql​⋅z−q⋅z⋅2z​=2qz(l−z)​

Используя полученные функции вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов в отдельных сечениях балки:

По полученным значениям строим эпюру ��Qy​, учитывая, что график имеет вид прямой, и эпюру��Mx​, учитывая, что график имеет вид квадратной параболы.

Отметим, что при составлении аналитических выражений для поперечных сил и изгибающих моментов можно отбрасывать часть балки, расположенную левее от сечения или правее от сечения. Результаты в этом случае – аналитические выражения для ��и��Qy​иMx​, должны быть такими же, как в первом случае. Это часто используют для проверки.