Внешние силы вызывают деформации тела. Их точки приложения перемещаются, а поэтому они (силы) совершают работу. При этом в теле накапливается энергия деформации – потенциальная энергия. При снятии нагрузки за счет накопленной энергии тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры.

Схема накопления потенциальной энергии при центральном растяжении

Принимая форму выделенной элементарной полоски в виде трапеции, определим элементарную работу, совершенную силой на деформации dΔl.

��=�Δ�+�(Δ�+�Δ�)2�Δ�=�(Δ�)+�(Δ�)+�(�Δ�)2�Δ=�(Δ�)�Δ�+�(Δ�)�Δ�2=�(Δ�)�Δ�dA=2FΔl+F(Δl+dΔl)​dΔl=2F(Δl)+F(Δl)+F(dΔl)​dΔ=F(Δl)dΔl+2F(Δl)dΔl​=F(Δl)dΔl

Слагаемым �(Δ�)�Δ�22F(Δl)dΔl​пренебрегаем, как малой величиной более высокого порядка. То есть имеем:

��=�(Δ�)�Δ�dA=F(Δl)dΔl

По закону сохранения энергии работа внешних сил равна приобретенной телом за счет их действия потенциальной энергии.Проинтегрируем левую и правую части полученного выражения и получим:

∫0���=��=��=∫0���(Δ�)�Δ�∫0A​dA=Al​=Wl​=∫0Al​​F(Δl)dΔl

Чтобы взять интеграл необходимо иметь функцию, выражающую зависимость силы от деформации F(Δl). Будем полагать, что материал подчиняется закону Гука:

Δ�=�(Δ�)���Δl=EAF(Δl)l​

Отсюда следует зависимость силы от деформации:

�(Δ�)=���Δ�F(Δl)=lEA​Δl

Подставим эту зависимость под интеграл и получим:

�=�=�12�2��A=W=2EAF12​l​