Пусть к балке приложена сила �1F1​, которая вызывает в сечении изгибающий момент �1M1​. Приложим к балке еще и силу �2F2​, которая вызвала дополнительный угол поворота сечений на участке dz равный ��2dθ2​.

Схема деформации элементарного участка балки от действия нагрузки второго состояния

Виртуальная работа внутренних сил от �1F1​ на перемещениях, вызванных силой �2F2​, равна:

��12=�1��2dW12​=M1​dθ2​

Здесь:

��2=���2dθ2​=ρ2​dz​

Кривизна участка балки равна:

1�=�2�����ρ1​=EIx​M2​​dz

Отсюда имеем:

��2=�2�����dθ2​=EIx​M2​​dz

Получим виртуальную работу внутренних сил на элементарном участке балки:

��12=�1�2�����2dW12​=M1​EIx​M2​​dθ2​

Виртуальная работа по всей длине балки равна интегралу:

�12=∫0��1�2�����W12​=∫0l​EIx​M1​M2​​dz

Аналогично:

�21=∫0��2�1�����W21​=∫0l​EIx​M2​M1​​dz

Отсюда, очевидно, что:

�12=�21W12​=W21​​

Сформулируем теорему о взаимности работ внутренних сил:

Работа внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе внутренних сил второго состояния на перемещениях первого состояния.