Рассмотрим элемент, находящийся в условиях плоского напряженного состояния. Пусть на его площадках действуют только нормальные напряжения.

Представление плоского напряденного состояния на два линейных состояния

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим деформации элемента поочередно от действия напряжения ��σx​ и от действия напряжений��σy​.

Условимся первым индексом обозначать направление деформации, а вторым индексом направление фактора, вызвавшего эту деформацию.

���=���;���=−����=−���;���=���;���=−����=−���.��=���+���=���−����;��=���+���=���−����.εxx​=Eσx​​;εyx​=−νεxx​=−Eσx​​;εyy​=Eσy​​;εxy​=−νεyy​=−Eσy​​.εx​=εxx​+εxy​=Eσx​​−νEσy​​;εy​=εyy​+εyx​=Eσy​​−νEσx​​.

Окончательно имеем выражение закон Гука для плоского напряженного состояния:

��=1�(��−���);��=1�(��−���).εx​=E1​(σx​−νσy​);εy​=E1​(σy​−νσx​).

По аналогии запишем закон Гука для объемного напряженного состояния:

��=1�[��−�(��+��)];��=1�[��−�(��+��)];��=1�[��−�(��+��)].εx​=E1​[σx​−ν(σy​+σz​)];εy​=E1​[σy​−ν(σx​+σz​)];εz​=E1​[σz​−ν(σx​+σy​)].