Пусть для сечения произвольной формы заданы значения �,��,��,��,���,��,��A,Jx​,Jy​,Jp​,Dxy​,Sx​,Sy​ и известно положение центра тяжести. Требуется найти (выразить) моменты инерции этого сечения относительно осей�1,�1X1​,Y1​, проведенных параллельно осям X, Y на расстоянии, соответственно,�0и�0.x0​иy0​.

Координаты точки сечения в исходной и производной системах координатных осей

Очевидно, что между координатами выделенной точки существует связь:

�1=�+�0;�1=�+�0x1​=x+x0​;y1​=y+y0​

Найдем моменты инерции сечения относительно осей �1и�1:X1​иY1​:

��1=∫��12��=∫�(�+�0)2��=∫�(�2+2�+�02)��==∫��2��+2�0∫����+�02∫���=��+2�0��+�02�Ix1​​=∫A​y12​dA=∫A​(y+y0​)2dA=∫A​(y2+2y+y02​)dA==∫A​y2dA+2y0​∫A​ydA+y02​∫A​dA=Ix​+2y0​Sx​+y02​A

Аналогично для момента инерции J_{y1}.

Найдем связь для центробежных моментов инерции:

��1�1=∫��1�1��=∫�(�+�0)(�+�0)��==∫�(��+�0�+�0�+�0�0)��==∫�����+�0∫����+�0∫����+�0�0∫���==���+�0��+�0��+�0�0�Dx1​y1​​=∫A​x1​y1​dA=∫A​(y+y0​)(x+x0​)dA==∫A​(xy+x0​y+y0​x+x0​y0​)dA==∫A​xydA+x0​∫A​ydA+y0​∫A​xdA+x0​y0​∫A​dA==Dxy​+x0​Sy​+y0​Sx​+x0​y0​A

Окончательно имеем:

��1=��+2�0��+�02�;��1=��+2�0��+�02�;��1�1=���+�0��+�0��+�0�0�.Ix1​​=Ix​+2y0​Sx​+y02​A;Iy1​​=Iy​+2x0​Sy​+x02​A;Dx1​y1​​=Dxy​+x0​Sy​+y0​Sx​+x0​y0​A.

Пусть оси X и Y будут центральными. Тогда статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю ��=0,��=0Sx​=0,Sy​=0. Зависимости между моментами инерции в этом случае упрощаются и принимают вид:

��1=���+�02�;��1=���+�02�;��1�1=�����+�0�0�.Ix1​​=Ixc​+y02​A;Iy1​​=Iyc​+x02​A;Dx1​y1​​=Dxcyc​+x0​y0​A.

Здесь�0и�0x0​иy0​являются расстояниями между соответствующими осями координат ��,�1и��,�1Xc​,X1​иYc​,Y1​.

Из полученных зависимостей можно выразить моменты инерции сечения относительно центральных осей координат:

��с=��1−�02�;��с=��1−�02�;�����=��1�1−�0�0�.Ixс​=Ix1​​−y02​A;Iyс​=Iy1​​−x02​A;Dxcyc​=Dx1​y1​​−x0​y0​A.

Очевидно, что осевой момент инерции относительно центральной оси всегда меньше осевого момента инерции относительно любой нецентральной оси параллельной центральной.