Пусть для сечения произвольной формы известны и ��,��,���IX​,IY​,DXY​ и A. Требуется выразить моменты инерции сечения относительно осей �1и�1X1​иY1​, повернутых по отношению к осям X, Y на угол α. Отметим, что оси X и Y могут быть и не центральными.

Координаты точки сечения в исходных и произвольных системах координатных осей

Связь между координатами двух систем координатных осей установим по рисунку:

�1=�⋅���(�)+�⋅���(�);�1=�⋅���(�)−�⋅���(�)x1​=x⋅cos(α)+y⋅sin(α);y1​=y⋅cos(α)−x⋅sin(α)

Осевой момент инерции относительно оси �1X1​ равен:

��1=∫��12��=∫�[�⋅���(�)−�⋅���(�)]2��==∫�[�2⋅���2(�)−2��⋅���(�)⋅���(�)+�2���2(�)]��==���2(�)∫��2��−2⋅���(�)⋅���(�)⋅∫�����+���2(�)⋅∫��2��==�����2(�)−������(2�)+��⋅���2(�)Ix1​=∫A​y12​dA=∫A​[y⋅cos(α)−x⋅sin(α)]2dy==∫A​[y2⋅cos2(α)−2xy⋅cos(α)⋅sin(α)+x2sin2(α)]dA==cos2(α)∫A​y2dA−2⋅sin(α)⋅cos(α)⋅∫A​xydA+sin2(α)⋅∫A​x2dA==Ix​cos2(α)−Dxy​sin(2α)+Iy​⋅sin2(α)

Аналогично получим выражение для момента инерции относительно оси �1.Y1​.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей �1и�1X1​иY1​ равен:

��1�1=∫��1�1��=∫�[�⋅���(�)−�⋅���(�)][�⋅���(�)−�⋅���(�)]��==∫�[��⋅���2(�)−�2⋅���(�)⋅���(�)+�2⋅���(�)⋅���(�)−�����2(�)]��==∫�[(�2−�2)⋅���(�)⋅���(�)+��(���2(�)−���2(�))]��==���(�)⋅���(�)(∫��2��−∫��2��)+(���2(�)−���2(�))∫�����==��−��2⋅���(2�)+���⋅���(2�)Dx1y1​=∫A​x1​y1​dA=∫A​[x⋅cos(α)−y⋅sin(α)][y⋅cos(α)−x⋅sin(α)]dy==∫A​[xy⋅cos2(α)−x2⋅cos(α)⋅sin(α)+y2⋅cos(α)⋅sin(α)−xysin2(α)]dA==∫A​[(y2−x2)⋅sin(α)⋅cos(α)+xy(cos2(α)−sin2(α))]dA==sin(α)⋅cos(α)(∫A​y2dA−∫A​x2dA)+(cos2(α)−sin2(α))∫A​xydA==2Ix​−Iy​​⋅sin(2α)+Dxy​⋅cos(2α)

Окончательно имеем:

��1=��⋅���2(�)+��⋅���2(�)−������(2�)��1=��⋅���2(�)+��⋅���2(�)+������(2�)��1�1=��−��2⋅���(2�)+���⋅���(2�)Ix1​=Ix​⋅cos2(α)+Iy​⋅sin2(α)−Dxy​sin(2α)Iy1​=Ix​⋅sin2(α)+Iy​⋅cos2(α)+Dxy​sin(2α)Dx1y1​=2Ix​−Iy​​⋅sin(2α)+Dxy​⋅cos(2α)

Сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной и той же точке (не обязательно в центре тяжести сечения), является величиной постоянной и равной полярному моменту сечения относительно точки пересечения этих осей.